Ejemplos de resolución de triángulos rectángulos

Resolución de triángulos rectángulos cuando se conocen las medidas de dos lados

En este caso se aplican las funciones trigonométricas inversas para determinar el valor de los ángulos desconocidos. La medida del tercer lado se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras.

Primero, se aplica una razón trigonométrica que relacione las medidas de los catetos y se halla la medida del ángulo $\alpha$, así:
$\tan \alpha=\frac{8}{6}$	Se aplica la tangente del ángulo $\alpha$
$ \tan \alpha=\tan\alpha=1,\overline{3}$	Se efectúa la división
$ \alpha =\arctan \left (\frac{8}{6}\right)$ $ \alpha\approx53^{\circ}$	Se aplica la función inversa y se aproxima la medida del ángulo.
Segundo, se halla la medida del ángulo $\beta$.
$\alpha +\beta +90^{\circ}=180^{\circ}$	Se plantea la suma de las medidas de los ángulos internos.
$53^{\circ} +\beta +90^{\circ}=180^{\circ}$	Se remplaza la medida de $\alpha$.
$\beta=37^{\circ}$	Se despeja $\beta$
Luego, se aplica el teorema de Pitágoras para hallar la medida de la hipotenusa.
$c=\sqrt{\left ( 8 \right )^2+\left ( 6 \right )^2}=\sqrt{64+36}=10$
Finalmente, se tiene que $\alpha \approx 53^{\circ}$,$\beta =37^{\circ}$ y $c=10$, con lo cual se resuelve el triángulo rectángulo.

Ahora, para resolver el triángulo ABC, cuya hipotenusa mide 10,5 cm y uno de sus catetos mide 6,25 cm, se realizan los siguientes pasos:

Primero, se traza el triángulo ABC y se escriben las medidas de los catetos, como se muestra en la figura.
Segundo, se aplica una razón trigonométrica que relacione las medidas del cateto opuesto y la hipotenusa, par hallar la medida del ángulo $A$, así:
$\sin A =\frac{6,25}{10,5}$	Se aplica el seno del ángulo $A$
$ \sin A=0,6$	Se efectúa la división
$ \widehat{A}=\arcsin \left (0,6\right)$ $ \widehat{A}\approx36,5^{\circ}$	Se aplica la función inversa y se aproxima la medida del ángulo.
Tercero, se halla la medida del ángulo $B$.
$\widehat{A}+\widehat{B} +90^{\circ}=180^{\circ}$	Se plantea la suma de las medidas de los ángulos internos.
$36,5^{\circ} +B +90^{\circ}=180^{\circ}$	Se remplaza la medida de $A$.
$\widehat{B}=143,5^{\circ}$	Se despeja $B$
Luego, se aplica el teorema de Pitágoras para hallar la medida del cateto $x$.
$x=\sqrt{\left ( 10,5 \right )^2-\left ( 6,25 \right )^2}=\sqrt{71,19}=8,44$
Finalmente, se tiene que $A \approx 36,5^{\circ}$,$B =143,5^{\circ}$ y $x=8,44$, con lo cual se resuelve el triángulo rectángulo.

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS ESPECIALES

Están formados por dos triángulos, en el cual uno de ellos es rectángulo y el otro obtusángulo, como se muestra en la siguiente figura,

Para este triangulo la medida del lado $\overline{AD}=20$, $\measuredangle A=90^{\circ}$, $\measuredangle C=45^{\circ}$ y$ \measuredangle D=60^{\circ}$

En este caso se aplican las funciones trigonométricas para determinar el valor de $\overline{AB}$ y $\overline{AC}$. La medida de $x$ se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras.

Primero, se aplica una razón trigonométrica que relacione las medidas de los catetos $\overline{AB}$ y $\overline{AD}$, utilizando $\measuredangle D$.

$\tan D=\frac{\overline{AB}}{\overline{AD}}=\tan 60^{\circ}=\frac{\overline{AB}}{20}$	Se aplica la tangente del ángulo $D$
$\overline{AB}=20\tan 60^{\circ}$	Se despeja el lado $\overline{AB}$
$\overline{AB}=20(\sqrt{3})=20\sqrt{3}\approx 34,6 $	Se halla el valor de la tangente y se multiplica por 20
Segundo, se aplica una razón trigonométrica que relacione las medidas de los catetos $\overline{AB}$ y $\overline{AC}$, utilizando $\measuredangle C$.

$\tan C=\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=\tan 45^{\circ}=\frac{20\sqrt{3}}{\overline{AC}}$	Se aplica la tangente del ángulo $C$
$\overline{AC}=\frac{20\sqrt{3}}{\tan 45^{\circ}}=20\sqrt{3}\approx 34,6$	Se despeja el lado $\overline{AC}$

Tercero, se aplica el teorema de Pitágoras para hallar $x$ $x^2=\sqrt{\left ( 20\sqrt{3} \right )^2+\left ( 20\sqrt{3} \right )^2}$ $x^2=\sqrt{2400}$ $x=20\sqrt{6}\approx 49$ $x=49$

Ahora puedes practicar con los siguientes vídeos:

Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=Dbd5OmbOE9c,Solución de triángulos rectangulos. Julio Rios, publicado 17 de febrero de 2017

Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=CRg5jQRj1Hg&t=1s,razones trigonométricas. Matemáticas Profe Alex, publicado el 21 de Febrero de 2018.